Сегодня тема про энергию сигнала, взаимную энергию и спектральные разложения (ряды Фурье). Все эти три предмета тесно связаны между собой.
На первом слайде даны формулы для вычисления энергии вещественных и комплексных сигналов с картинкой и примером решения задачи. Дана формула для вычисления взаимной энергии двух сигналов (она же есть скалярное произведение этих сигналов).
Важным частным случаем являются ортогональные сигналы, взаимная энергия которых равна нулю.
На свойстве ортогональности основаны разнообразные линейные разложения сигналов в конечные и бесконечные ряды.
В качестве примера на втором слайде приведено сравнение разложения обычного геометрического вектора по координатным осям обычного геометрического пространства и разложение произвольного ограниченного во времени сигнала по координатным осям функционального (сигнального) пространства S.
В обоих случаях пространства являются линейными, координатные оси являются попарно ортогональными (перпендикулярными), а численные коэффициенты разложения вычисляются через скалярное произведение.
Разница состоит лишь в том, что в реальной физической геометрии размерность пространства ограничена тремя единицами, а в воображаемых функциональных пространствах она может быть увеличена вплоть до бесконечности. Предельная размерность таких пространств зависит от того, какое количество попарно ортогональных, линейно независимых координатных осей (сигналов, функций) нам удастся найти.
Наборов базисных функций (сигналов), удовлетворяющих условию попарной ортогональности, существует великое множество. Такое разложение в самом общем виде называется обобщенным рядом Фурье. Набор чисел Ck (коэффициентов разложения) называется спектром сигнала в выбранном базисе. Конечно, в разных выбранных базисах спектры будут разными.
В частных случаях раскладывать сигналы можно по базисам разных видов:
- по синусам и косинусам (тригонометрический ряд Фурье)
- по комплексным экспонентам (комплексный ряд Фурье, в пределе - интеграл Фурье)
- по функциям вида sin x / x (ряд Котельникова)
- по импульсным функциям Уолша
- по взаимно сдвинутым импульсным дельта функциям (в пределе - интеграл Дюамеля)
- по функциям и полиномам Чебышева, Эрмита, Лагранжа, Лежандра, Лагерра и т.д. и т.п. и т.д. и т.п.
В радиотехнике для спектрального анализа используются базисы первых двух видов.
----
Сообщение от Евгений240
