Не синусоида бесконечной амплитуды, а её спектр - одна "палка" нулевой протяжённости по частоте и бесконечной высоты (спектральной плотности). Но заключённая в ней мощность (интеграл от спектральной плотности по частоте) равна мощности исходной синусоиды.Сообщение от Valery12
Площадь "классической" дельта-функции - единица. Но её, как и любую другую функцию, можно умножить не постоянный коэффициент.
Последний раз редактировалось DMJ; 11.07.2018 в 17:37.
DMJ
Интересно, через сколько периодов колебаний мой "спектральный синус", вычисленный из одного периода колебаний, начнет превращаться в "палку нулевой протяженности"?
Эта палка будет на нулевой частоте спектра?
И еще, как вычислить спектр функции "синус" за два периода колебаний?
По той же формуле, что и для одного периода?
Valery12, спектральная палка смещена по частоте, ессно. Одна половинка у синуса - на минус омега ноль, вторая на плюс омега ноль. Обе эти дельта функции имеют равную площадь пи.
По формуле ряда Фурье можно вычислить спектр только для двух видов сигнала:
1. Ограниченный во времени и рассматриваемый только на этом интервале из чисто теоретического интереса.
2. Периодический бесконечный во времени.
Во всех других случаях непериодических сигналов добро пожаловать в интегралы Фурье. Но можно поступить проще, зная такое свойство пр. Фурье, которое называется теоремой о свёртке (ранее о ней речь уже была).
Два периода синусоиды можно рассматривать как идеальную бесконечную, но умноженную на прямоугольную оконную функцию. Спектры обеих функций известны. Осталось всего ничего - вычислить их линейную интегральную свертку.
В данном случае это делается интуитивно просто. Спектр окна вида sin x / x (взятый по модулю) тупо сдвигается со своей нулевой центральной частоты на частоту синусоиды и получаем хвостатое и ушастое чудище с кучей боковых лепестков бесконечно протяженного в обе стороны спектра.
Чем длиннее будет ваше окно, тем это чудище будет более узким, с более быстрым спаданием ушей и хвостов. В пределе стремясь к дельта функции спектра бесконечного синуса. Наверное, тут будет уместна картинка. Но я пока сижу на мобилке и рисовать не могу.
Последний раз редактировалось UA4NE; 11.07.2018 в 19:45.
Как же так, не может быть, промежуток должен быть!
Не верится, что по обычным формулам разложения в ряд Фурье я не могу вычислить спектр двух, трех или четырех периодов синуса.
И без всякого умножения "на оконную функцию", пусть окнами строители занимаются.
Буду думать.
Последний раз редактировалось Valery12; 11.07.2018 в 20:06.
"Теорема о свертке" дала нам возможность применить ранее известные сведения для быстрого "на пальцах" решения новой задачи.
А кто не знает теорему о свёртке, тот каждый раз длинно и нудно вычисляет интегралы -)) Это небольшая шпилька в адрес "теорехейтеров". Знание теории очень часто упрощает решение практических задач. А еще чаще - делает их решение вообще возможным и осуществимым.
Добавлено через 30 минут(ы):
Вот недостающая картинка - как получить спектр ограниченной во времени косинусоиды, пользуясь теоремой о свёртке. Надеюсь, что она пояснений не требует.
Обратите внимание на то, что этот новый сигнал уже перестал быть периодическим, а его спектр перестал быть дискретным по частоте - он стал сплошным. Его уже нельзя представить через ряд Фурье.
Последний раз редактировалось UA4NE; 11.07.2018 в 20:51.
Спасибо от Valery12
Надумали?
Четыре периода синуса и даже десять или сто - это отнюдь не периодический сигнал. И, к сожалению, через ряд его уже никак не посчитать. Только через предельный переход, когда период сигнала устремлен к бесконечности - но при этом получается уже не ряд, а интеграл Фурье с бесконечно малым шагом между соседними гармониками. А спектр - не дискретным, а сплошным.
При ограничении сигнала во времени происходит так называемое "растекание спектра" (spectrum leakage), на предыдущей картинке это растекание идеальной дельта-функции по соседним частотам наглядно видно. Часто это явление связывают с обработкой дискретных сигналов блочным преобразователем Фурье. Но оно имеет более общую природу и характерно для любых типов сигнала - и дискретных, и аналоговых.
Этот эффект растекания будет тем меньше, чем длиннее мы берем фрагмент сигнала для спектрального анализа.
Последний раз редактировалось UA4NE; 11.07.2018 в 22:42.
Надумал.
За четыре периода в спектре функции синус получилась только одна частота - этот же синус.
Про дельту не совсем понятно.
Какие размерности на графиках спектра по осям X и Y?
Добавил.
Написал длинное сообщение, но оно не отправилось.
Форум глючит, пока буду писать коротко.
Последний раз редактировалось Valery12; 12.07.2018 в 10:51.
После прочтения умной литературы, я пришел к заключению, что Вы правы.
Спектр чистого синуса состоит из двух синусоид бесконечной амплитуды!
Это не две синусоиды, а две симметричные относительно нулевой частоты комплексные экспоненты. Они получаются из разложения вещественного синуса (или косинуса) по формуле Эйлера на две комплексные экспоненты. Одна экспонента с течением времени крутится на комплексной плоскости по окружности против часовой стрелки (это компонента положительной частоты), другая по часовой стрелке (отрицательной частоты). Спектральная плотность каждой из них - дельта функция площадью пи.
На графике двустороннего спектра по горизонтальной оси - частота омега в положительную и в отрицательную стороны. По вертикальной оси - модуль комплексной спектральной функции |G(омега)|. Это есть амплитудный спектр, имеющий смысл спектральной плотности. Число рядом с дельта функциями на графике спектральной плотности указывает на их площадь.
Это есть пример, когда из двух комплексных сигналов противоположных частот (сопряженных комплексных экспонент) получается в результате суммирования вещественный сигнал - синус или косинус. Картинка с примером получения косинуса по формуле Эйлера: cos t = eit/2 + e-it/2 приведена в статье. В данном случае частота омега равна единице радиан в секунду.
Надо ли рисовать на комплексной плоскости комплексную экспоненту и объяснять, почему она двигается с течением времени по окружности именно в ту сторону, в какую надо? Там элементарная геометрия косинуса и синуса для положительной частоты, а также косинуса и минус синуса - для отрицательной частоты. Косинус ходит на комплексной плоскости по горизонтали (действительная часть), синус - по вертикали (мнимая часть). В результате получается окружность.
На всякий случай приведу формулы для комплексных экспонент положительной и отрицательной частоты в показательной и тригонометрической формах:
eit = cos t + i sin t (положительная частота)
e-it = cos t - i sin t (отрицательная частота)
=====
Дополнение. Для периодического сигнала на графическом изображении спектра можно также указывать не значения спектральной плотности G(омега), а амплитуды спектральных компонент - коэффициенты Ak разложения сигнала в тригонометрический ряд Фурье.
Формула для их взаимного перевода проста: G(омега) = пи Ak
Для синуса или косинуса в разложении будет только один член ряда с коэффициентом A1 = 1.
Последний раз редактировалось UA4NE; 12.07.2018 в 21:25.
Михаил, чо-то Вы меня дурите
Комплексная экспонента, это функция комплексного переменного.
Если сказать проще, то это функция двух действительных переменных.
Когда-то "сдавал" эту дребедень, пойду вспоминать.
Если что-нибудь удумаю, вернусь в тему
Добавил.
Частично "претензию" снял.
У нас комплексная функция вещественного аргумента, одного.
Только кто есть, этот вещественный Аргумент?
Время или частота?
Последний раз редактировалось Valery12; 12.07.2018 в 21:37.
Эту тему просматривают: 1 (пользователей: 0 , гостей: 1)
Ваши права
