Упомянутая вчера формула взаимосвязи коэффициентов комплексного ряда Фурье A(k) и спектральной плотности G(омега) для периодических сигналов позволяет проделать хитрый трюк по вычислению всех коэффициентов ряда Фурье (то есть, амплитуд и фаз всех гармоник) для этого сигнала за один раз. Без длинного и нудного вычисления интегралов взаимных энергий для каждой из гармоник по отдельности.
Эта формула в более полном виде выглядит так:
A(k) = 2 G(k омега ноль) / T = G(k омега ноль) / пи
Здесь k - номер гармоники двустороннего спектра периодического сигнала, это целые числа 0, +-1, +-2, +-3 и т.д.
A(k) - комплексная амплитуда k-той гармоники одностороннего спектра, ее амплитуда и фаза в одном флаконе; - в двусторонний комплексный ряд Фурье подставляются ее половинки для положительного и отрицательного значений индекса k.
омега ноль - частота первой гармоники (она зависит от периода сигнала T), омега ноль = 2 пи / T.
G(омега) - комплексная спектральная функция - результат прямого преобразования Фурье от одиночного импульса одного периода периодического сигнала.
G(k омега ноль) - значения этой функции на интересующих нас частотах гармоник периодического сигнала.
Над символами A и G обычно ставят точки, чтобы показать их комплексность.
Последовательность решения задачи такая:
1. Выделяем из анализируемого периодического сигнала один период, все остальные периоды обнуляем - получится одиночный непериодический импульс на бесконечной оси времени.
2. Для этого одиночного импульса вычисляем прямое интегральное преобразование Фурье, получаем комплексную спектральную функцию G(омега), которая является сплошной на бесконечной оси частот.
3. Берем значения этой функции на нужных нам частотах (k омега ноль) и подставляем их в вышеприведенную формулу.
4. Профит - все коэффициенты A(k) спектрального разложения исходного периодического сигнала автоматически получены через однократное вычисление интеграла.
Прошу прощенья за формулы в текстовом виде и отсутствие наглядных картинок, с картинками форум пока глючит. О преобразованиях Фурье и их физическом смысле будет отдельная тема.