Теоретическая радиотехника. Повышение квалификации

[UA4NE]

Формула для их взаимного перевода проста: G(омега) = пи Ak

Упомянутая вчера формула взаимосвязи коэффициентов комплексного ряда Фурье A(k) и спектральной плотности G(омега) для периодических сигналов позволяет проделать хитрый трюк по вычислению всех коэффициентов ряда Фурье (то есть, амплитуд и фаз всех гармоник) для этого сигнала за один раз. Без длинного и нудного вычисления интегралов взаимных энергий для каждой из гармоник по отдельности.

Эта формула в более полном виде выглядит так:

A(k) = 2 G(k омега ноль) / T = G(k омега ноль) / пи

Здесь k - номер гармоники двустороннего спектра периодического сигнала, это целые числа 0, +-1, +-2, +-3 и т.д.
A(k) - комплексная амплитуда k-той гармоники одностороннего спектра, ее амплитуда и фаза в одном флаконе; - в двусторонний комплексный ряд Фурье подставляются ее половинки для положительного и отрицательного значений индекса k.
омега ноль - частота первой гармоники (она зависит от периода сигнала T), омега ноль = 2 пи / T.
G(омега) - комплексная спектральная функция - результат прямого преобразования Фурье от одиночного импульса одного периода периодического сигнала.
G(k омега ноль) - значения этой функции на интересующих нас частотах гармоник периодического сигнала.
Над символами A и G обычно ставят точки, чтобы показать их комплексность.

Последовательность решения задачи такая:

1. Выделяем из анализируемого периодического сигнала один период, все остальные периоды обнуляем - получится одиночный непериодический импульс на бесконечной оси времени.
2. Для этого одиночного импульса вычисляем прямое интегральное преобразование Фурье, получаем комплексную спектральную функцию G(омега), которая является сплошной на бесконечной оси частот.
3. Берем значения этой функции на нужных нам частотах (k омега ноль) и подставляем их в вышеприведенную формулу.
4. Профит - все коэффициенты A(k) спектрального разложения исходного периодического сигнала автоматически получены через однократное вычисление интеграла.

Прошу прощенья за формулы в текстовом виде и отсутствие наглядных картинок, с картинками форум пока глючит. О преобразованиях Фурье и их физическом смысле будет отдельная тема.

[Леонид3]

UA4NE, Михаил, таки придётся вам (в последствии) свои алмазики вкрапленные в тему повыковыривать и объединить в одну статью
Хотя некоторые посты, например предыдущий №221, можно и не включать в избранное, ведь несмотря на абсолютную верность, для радиолюбителя "профита" нет, не принимает и не передаёт он повторяющиеся периоды, даже если минуту будет в микрофон шуметь "А--А"

[UA4NE]

Леонид3, а я считаю, что наоборот -)) именно от сообщений, подобных предыдущему, я и вижу реальную пользу. Можно забыть, например, формулу для вычисления преобразования Фурье. Это не страшно, ее всегда можно найти в литературе. Важнее - охватить предмет изучения целиком, понять взаимозависимость его разных сторон, овладеть принципами и методами решения практических задач, уметь за скупыми формулами видеть всё богатство их физических проявлений. Нужен базовый скелет, на который всегда мясо можно нарастить, при необходимости. Зная и представляя физику, забытую формулу всегда можно заново вывести -)) я обычно так и делаю. Это проще и быстрее, чем рыться в литературе.

Я надеюсь, что в результате появится учебное пособие для студентов, которое будет не переписыванием учебников, а будет оказывать помощь в их осмыслении.

========

Как ни крути, но основой для решения реальных практических задач являются не существующие в природе идеальные предельные приближения. Например, бесконечные синусоиды, бесконечные константы, дельта функции, белые шумы, гауссовы вероятностные модели и т.д. Эти приближения очень важны именно для осмысления происходящих в реальности явлений.

[Valery12]

Последовательность решения задачи такая:
1. Выделяем из анализируемого периодического сигнала один период....

Профит - все коэффициенты A(k) спектрального разложения исходного периодического сигнала автоматически получены через однократное вычисление интеграла.

Михаил, я попробовал применить методику для "чистого синуса".
Профита не получилось
Нужна Ваша помощь.

[adt]

Упомянутая вчера формула взаимосвязи коэффициентов комплексного ряда Фурье A(k) и спектральной плотности G(омега) для периодических сигналов позволяет проделать хитрый трюк ...

Надеюсь в дальнейшем это будет подробно разжёвано с примером расчёта.

[UA4NE]

Valery12, для чистого синуса всё просто. Спектральную плотность любой его половинки (это дельта функция площадью пи) делим на пи и получаем единицу - амплитуду этого синуса на первой гармонике A(1). А других гармоник у синуса нет.

Половинка от единицы - это одна вторая. Такие амплитуды А(1)/2 и А(-1)/2 будут у каждой из двух комплексных экспонент, на которые этот синус можно разложить по формуле Эйлера.

adt, да, конечно, пример расчета будет. Мы этим способом чуть позже решим практическую задачу отыскания спектра периодических прямоугольных импульсов произвольной скважности.

[Valery12]

Такие амплитуды А(1)/2 и А(-1)/2 будут у каждой из двух комплексных экспонент, на которые этот синус можно разложить по формуле Эйлера.

Михаил, очень хочется увидеть разложение синуса на две комплексные экспоненты в виде формулы.
(маленький скан из учебника)

[iHam]

Четыре периода синуса и даже десять или сто - это отнюдь не периодический сигнал

Видимо в природе не существует периодических сигналов. Но нас не интересует бесконечный отрезок времени. Давайте ближе к практическим результатам.

Добавлено через 11 минут(ы):

Время вещественное. Частота - комплексная

Надо видимо понимать, что временная шкала это натуральное отображение сигнала в 2 координатах, а частотная шкала условное?

[UA4NE]

iHam, да, периодических сигналов не существует, это идеализация. Спектр реального ограниченного во времени сигнала можно вычислить через свертку спектра идеального бесконечного сигнала со спектром окна, которое ограничивает длительность сигнала. См. картинку чуть выше в сообщении про использовании теоремы о свертке. Это сделать несложно, спектр прямоугольного окна это книжная формула вида sin x / x, он уже давно за нас посчитан.

Про частоту вопрос не понял. На тему комплексных частот я сделаю отдельное сообщение с наглядной картинкой. Как только починят форум. Там все просто и наглядно будет.

Валера, формула для разложения синуса очень похожа на косинусную, там только в знаменателе не двойка, а двойка умноженная на мнимую единицу. И еще вроде бы вычитание вместо сложения - я точно не помню, книг под руками нет. Посмотрите в справочнике Бронштейна. Для понимания геометрической сути формул Эйлера наиболее наглядно разложение косинуса. А разложение синуса это математическая эквилибристика, получаемая из косинуса с учетом мнимости.

[Valery12]

Посмотрите в справочнике Бронштейна. Для понимания геометрической сути формул Эйлера наиболее наглядно разложение косинуса.

Смотрел.
Смотрел еще до написания своего сообщения.
Задал вопрос, потому, что Вашу мысль не понял.
А разложение синуса или косинуса на две комплексные экспоненты понимаю.

Нооо...., в этом разложении ОДНА частота, которая является константой.
Переменная - время.
Вот поэтому мои представления о формуле Эйлера не попали в резонанс с вашими представлениями.
Непростое это дело, переход к спектральной плотности.
Похоже, что нужно разбираться с преобразованием Лапласа и комплексной частотой.
Потихоньку разбираюсь, процесс пошел, но очень медленно

На тему комплексных частот я сделаю отдельное сообщение с наглядной картинкой...Там все просто и наглядно будет

Сумлеваюсь, я однако....

Это сделать несложно, спектр прямоугольного окна это книжная формула вида sin x / x, он уже давно за нас посчитан

Спектр окна, это звучит гордо!
Мое окно плохо пропускает ультрафиолет солнечного спектра.
Загорать не могу...., печально.