Теоретическая радиотехника. Повышение квалификации

[UA4NE]

Окно это такая же функция времени как и наш сигнал. Спектр ее также вычисляется через преобразование Фурье.

Когда вы делаете преобразование Фурье, то для каждой из мыслимых частот бесконечной в обе стороны оси частот вы мысленно вычисляете взаимную энергию анализируемого сигнала и комплексной экспоненты каждой из этих частот. Если ваш сигнал - есть бесконечная косинусоида с частотой омега ноль, то результат вычисления этой взаимной энергии будет тождественно равен нулю для всего этого бесконечного множества частот кроме всего только двух частот. Омеги ноль и минус омеги ноль. Поэтому спектр косинуса и представляется теоретически в виде двух дельта функций бесконечно малой ширины.

В реальном аналоговом спектроанализаторе эти вычисления взаимных энергий выполняются не мысленно, а в натуре - одновременно во множестве параллельных частотных каналах анализа.

[Valery12]

UA4NE

Михаил, не обижайтесь на придирки, я ж для пользы дела.
Спектр оконной функции, вот это по-нашему!
(наши -это теоретики, а не практики со своим сленгом )

Добавлено через 27 минут(ы):

Поэтому спектр косинуса и представляется теоретически в виде двух дельта функций бесконечно малой ширины.

Ширина, это по частоте.
А какая размерность "по высоте"? (в смысле по оси Y)
Это напряжение, как в моем анализаторе спектра?
Знаю, что вопрос дурацкий и задаю его второй раз.
Но, честно, ответа на него не знаю.

[UA4NE]

Размерность дельта функции - в ее площади. А высота - бесконечно большая, конечно. Как и у любой другой дельта функции. Площадь дельта функции (то есть, ее интеграл в бесконечных пределах) пи и есть спектральная плотность косинусоиды на этой частоте.

Вообще, спектральная плотность по определению это отношение амплитуды "напряжения" спектральной компоненты к ширине полосы частот анализа при устремлении этой полосы частот к нулю. Отношение dA к dомега. Отношение одной бесконечно малой величины к другой бесконечно малой величине. Результат получается осязаемый. Спектральная плотность - это естественная характеристика для сплошных спектров, у которых шаг гармоник по частоте бесконечно мал (это предельный случай при бесконечно большом периоде непериодического сигнала).

Дельта функция - это особый случай не бесконечно малой, а бесконечно большой величины. Произведение бесконечно большой высоты на бесконечно малую ширину дает ее площадь, то есть - ту же самую спектральную плотность. Там было отношение двух бесконечно малых, а здесь - произведение бесконечно малой на бесконечно большую. Результат - тоже осязаемый.

Я не математик, и математически строго объяснить этот случай не могу. Если дельта функция вводит вас в ступор (меня тоже иногда вводит) - забейте на нее вообще и просто считайте, что спектральная плотность половинки косинусоиды равна пи.

Если поделим по формуле спектральную плотность косинусоиды пи на пи = получаем единицу - амплитуду этой косинусоиды, она же коэффициент А(1) разложения косинусоиды в ряд Фурье.

[UA4NE]

Вот подумалось тут, что умножение на бесконечно большую величину эквивалентно делению на бесконечно малую. Результат-то один и тот же -)).

Валера, а мне нравится ход ваших мыслей. Ваши вопросы нестандартны и побуждают к шевелению извилинами.

===

Форум починили. Валера, вот геометрическая интерпретация формулы Эйлера для синуса и для косинуса. Картинка пояснений не требует. В данном случае угол фи и переменная t это одно и то же, а угловая частота омега равна плюс единице или минус единице. На картинке суммируются (для косинуса) и вычитаются (для синуса) два комплексно сопряженных вектора.

[Valery12]

Валера, вот геометрическая интерпретация формулы Эйлера для синуса и для косинуса. Картинка пояснений не требует.

Михаил, с Эйлером настолько понятно, что и картинки не требуется.
Но к нашим "рассуждениям" о сумме спектральных составляющих сигнала Эйлер отношения не имеет.

Ваши вопросы нестандартны и побуждают к шевелению извилинами.

Мои вопросы меня самого не радуют, туплю....

"Один дурак может задать столько вопросов что и 100 мудрецов не ответят"
(с) В. И. Ленин ПСС том 8 стр. 15, работа "Как нам преобразовать РабКрин".

Выделение жирным шрифтом было в первоисточнике

Так всё же, какая размерность на графиках спектральной плотности по Оси Y?
Это Вольты?

Добавлено через 25 минут(ы):

Это Вольты?

Вопрос снят.
Сообразил, что это Вольт на один Герц.
(на Герц полосы)

[UA4NE]

Слепой не слышит глухого -)) вы задаете один вопрос, а я отвечаю совсем на другой. ОК. Да, конечно, это условные единицы амплитуды на герц.

Но это для детерминированных сигналов. Для случайных сигналов преобразование Фурье и обычная спектральная плотность не имеют смысла, и там используется другая (энергетическая) единица спектральной плотности - квадратные у.е. на герц. Это СПМ - спектральная плотность мощности. Вычисляется как преобразование Фурье от АКФ случайного сигнала.

[Valery12]

UA4NE

Теперь осталось сообразить, почему это бесконечно малая величина.
Если вычислять плотность вещества, то получается конечное число.
Не понятно.

[UA4NE]

почему это бесконечно малая величина.

Бесконечно малая величина - это амплитуда спектральной компоненты в бесконечной малой полосе. А плотность (их отношение) - конечная и осязаемая.

Скоро мы будем разбирать пример вычисления спектральной плотности периодических прямоугольных импульсов и наглядно увидим, что при увеличении их скважности до бесконечности (когда период стремится к бесконечности) амплитуды спектральных составляющих будут стремиться к нулю, а расстояние между ними на оси частот будет уменьшаться и также стремиться к нулю. При этом спектр (спектральная плотность) вместо дискретного станет сплошным, но будет оставаться конечным и осязаемым.

[Valery12]

UA4NE

Итого, что закрыть мой вопрос полностью.
Кривые на графиках спектральной плотности дают конкретные числа, а не бесконечно малые величины потому, что амплитуды посчитаны в полосе 1 Гц.
Это правильно?

[UA4NE]

Это правильно?

Правильно. Но только нормирование идет не к 1 Гц, а к 1 радиану в секунду, то есть, к 1/(2 пи) герц. Герцы в радиотехнике как-то не прижились. В сообщение 236 надо бы внести поправку. Хорошо, что вы затронули этот вопрос с размерностями.

Кстати, вероятно, что отсюда ноги растут и у констант пи или 2 пи в преобразовании спектральной плотности к амплитудам. А также у множителя 1/(2 пи) в формуле обратного преобразования Фурье.

И даже не вероятно, а точно отсюда.

===

Кстати, в дискретной радиотехнике и ЦОС проблема с размерностями не стоит вообще. Все частоты там нормированы к величине (2 пи) - частоте дискретизации. А множитель (1/N) может гулять на ваше усмотрение из формулы прямого ДПФ в обратное ДПФ. Главное, чтобы его не забыть применить или там или там.