Теоретическая радиотехника. Повышение квалификации

[Valery12]

Я немного подумаю и рожу вам "строгое математическое определение" оконного преобразования Фурье, результат которого будет функцией не сдвига окна во времени, а функцией самого времени

Неааа, рожать более "строгого" не надо, хватит и этого

Нужно разобраться, как построить спектр сигнала для двух переменных - частоты и времени при оконном преобразовании Фурье.
Спектр сигнала при обычном преобразования Фурье с одной переменной я недавно приводил.
(там, где мой домашний Эфир)

Добавил.
Почти уверен, что картинка на "водопаде" и есть решение вопроса.

[UA4NE]

Valery12, Всё верно. Картинка на водопаде - это и есть результат последовательного разглядывания исследуемого сигнала через наше "окно". Поступающий сигнал как бы "задвигается" в окно, временно фиксируется в нём, затем обрабатывается в его границах, и при "выдвигании" из окна выбрасывается на помойку.

Задвигание может выполняться небольшими порциями, размер которых меньше размера окна. При этом образуется оконное перекрытие - overlap. Смежные во времени окна можно накладывать встык друг к другу как без перекрытия, так и с перекрытием. От величины взаимного перекрытия окон будет зависеть только дополнительная фазовая поправка к результату анализа, для каждого частотного канала своя. К амплитудам, которые выводятся на панораму водопада, поправки не нужны.

[sgk]

Спектр сигнала при обычном преобразования Фурье с одной переменной я недавно приводил.
(там, где мой домашний Эфир)

Это "не обычное преобразование Фурье". Копия экрана где Ваш домашний эфир -это много более сложная реализация: "комбинированное многочастотное БПФ" и "технология Subtractive Dither".

[Valery12]

Это "не обычное преобразование Фурье"

Это обычное преобразование Фурье.
Только выполнено по "хитрому" алгоритму.

К амплитудам, которые выводятся на панораму водопада, поправки не нужны.

Дело не в поправках, в данный момент рассматриваю только "сущность".
Понравилось, что амплитуду на водопаде придумали изображать с помощью цвета.
Иначе, на плоскости, изобразить функцию двух переменных было бы трудновато

[UA4NE]

Valery12, от фазовых поправок отмахиваться не нужно. Они неизбежно потребуются, если вам захочется использовать ваш оконный анализатор в качестве набора полосовых фильтров. И с выходов частотных каналов анализа брать отфильтрованные ими узкополосные сигналы. Эти сигналы придется править, иначе их спектры сместятся по частоте из-за перекрытия окон.

Но ничего страшного нет. Фазовая (то бишь частотная) коррекция это типовая и очень комфортная процедура - ведь наши сигналы комплексные, а не вещественные. Поэтому никаких артефактов в виде ненавистных зеркалок не будет.

[sgk]

Понравилось, что амплитуду на водопаде придумали изображать с помощью цвета.
Иначе, на плоскости, изобразить функцию двух переменных было бы трудновато

Можно не на плоскости.

[UA4NE]

Вот формула оконного преобразования Фурье из Википедии. В ней уже сделано то, что вчера собирался родить я - выполнена взаимная замена переменных t на тау. И теперь спектр стал не функцией оконного сдвига, а функцией времени, как и на водопаде.

Аргумент оконной функции (t-тау) после замены переменных превратился в (тау-t). В результате получилась свёртка функций с взаимным сдвигом t.

[UA4NE]

Но в этой формуле окно по-прежнему скользит вдоль неподвижного сигнала. Для приближения к реальной обработке (как на водопаде, в реальных спектроанализаторах и т.д.) окно и сигнал нужно поменять местами. То есть, окно нужно зафиксировать, а сигнал двигать относительно него.

Это можно сделать, выполнив взаимную замену функций сигнала и окна с сохранением прежних аргументов, при этом результат свёртки не изменится. И получим искомое - поступающий на обработку в реальном времени сигнал будет перемещаться вдоль неподвижного окна, при этом пределы интегрирования могут быть симметрично сужены до границ окна. Само окно w(тау) останется симметричной чётной функцией относительно переменной тау. Переменная тау имеет смысл сдвига во времени при вычислении свёртки только в пределах окна с неподвижными границами.

Получится что-то вроде этого:

[Valery12]

Вот формула оконного преобразования Фурье из Википедии. В ней уже сделано то, что вчера собирался родить я - выполнена взаимная замена переменных t на тау.

Вот это уже ближе к "телу", и с этого нужно было начинать весь сыр-бор.
ИМХО

В результате получилась свёртка функций с взаимным сдвигом t.

В приведенной формуле, свертки я не увидел, это есть "определение" оконного преобразования Фурье.
Михаил, вы очень лихо обращаетесь с комплексной экспонентой.
(как Чапаев с шашкой )
Хочу - умножу на эту экспоненту, захочу и вообще не буду учитывать ее в формуле.

[UA4NE]

Valery12, что это значит - "захочу - не буду учитывать"? Где я такую дурь мог написать? Умножение входного сигнала на КЭ выполняется в обязательном порядке на "первом этапе" преобразования Фурье, и это умножение никак нельзя проигнорировать. Это следует из самой формулы ПФ, неужели вы эту формулу не видите? Она крупно дана в самом верху скана. Далее в операции свёртки фигурирует комплексный результат этого умножения, который получился после сдвига спектра на нулевую ПЧ. Это есть функция s1(t) с точкой сверху.

Я видел, что на картинке индекс 1 где-то пропущен, это мелкая опечатка, но точка сверху стоит везде где она нужна для того, чтобы показать комплексность сигнала. Смысл этой единички в том, что она соответствует частному случаю для искомой частоты "омега 1", и не более того.

Умножение на комплексную экспоненту в любом ПФ выполняется всегда. Иначе это уже нельзя называть преобразованием Фурье.